Eliminasi Gauss

Pada kesempatan kali ini akan membahas tentang Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh :

Dari contoh soal di atas, kita dapat menghitungnya dengan bahasa pemrograman apapun. Kali ini menghitungnya akan menggunakan bahasa pemrograman Python3, berikut kode source code-nya :

_______________________________________________________________________________

print ("Nama Kelompok :")
print ("1. Erisa Putri Maulina (04218038)")
print ("2. Areta Griselda Sabela (04218011)")
print ("3. Alfiyani Nurul 'Ilmi (04218037")
print ("4. M. Dandi Wibisono (04218010)\n")

print ("Matriks Dengan Metode Eliminasi Gauss\n")

print ("Soal")
print ("4x1 + 5x2 + 0x3 = 4")
print ("2x1 - 2x2 + 3x3 = 8")
print ("2x1 +  x2 + 5x3 = 12")

a11=4
a12=5
a13=0
a14=4
a21=2
a22=-2
a23=3
a24=8
a31=2
a32=1
a33=5
a34=12


print("")
print("Matriks")
print("|",a11," ",a12," ",a13," ",a14,"|")
print("|",a21," ",a22," ",a23," ",a24,"|")
print("|",a31," ",a32," ",a33," ",a34,"|\n")

print ("B2-B3")
a21= a21 - a31
a22= a22 - a32
a23= a23 - a33
a24= a24 - a34
print ("|",a11," ",a12," ",a13," ",a14,"|")
print ("|",a21," ",a22," ",a23," ",a24,"|")
print ("|",a31," ",a32," ",a33," ",a34,"|\n")

print ("B3-1/2*B1")
a21= 0
a22= -3
a23= -2
a24= -4
a31= (a31) - (1/2*a11)
a32= (a32) - (1/2*a12)
a33= (a33) - (1/2*a13)
a34= (a34) - (1/2*a14)

print ("|",a11," ",a12," ",a13," ",a14,"|")
print ("|",a21," ",a22," ",a23," ",a24,"|")
print ("|",a31," ",a32," ",a33," ",a34,"|\n")

print ("B3-1/2*B2")
a31= (0) - (1/2*0)
a32= (a32) - (1/2*a22)
a33= (a33) - (1/2*a23)
a34= (a34) - (1/2*a24)
print ("|",a11," ",a12," ",a13," ",a14,"|")
print ("|",a21," ",a22," ",a23," ",a24,"|")
print ("|",a31," ",a32," ",a33," ",a34,"|\n")

print ("Eliminasi Gauss\n")
print (a11,"x1","",a12,"x2","",a13,"x3","","="," ",a14)
print (a21,"x1","",a22,"x2","",a23,"x3","","="," ",a24)
print (a31,"x1","",a32,"x2","",a33,"x3","","="," ",a34,"\n")

print ("Hasil Eliminasi Gauss")

print ("6x3 = 12")
print (" x3 = 12/6")
print (" x3 = 2")

print (" ")
print ("-3x2 - 2x3 = -4")
print ("-3x2 - 2*2 = -4")
print ("      -3x2 = -4 + 4")
print ("      -3x2 = 0")
print ("        x2 = 0/3")
print ("        x2 = 0")

print (" ")
print ("4x1 + 5x2 + 0x3 = 4")
print ("4x1 + 5*0 + 0*2 = 4")
print ("            4x1 = 4")
print ("             x1 = 4/4")
print ("             x1 = 1")

_____________________________________________________________________________

Sekian yang dapat saya sampaikan. Terima kasih

NAMA    : Alfiyani Nurul 'Ilmi
NIM        : 04218037
PRODI    : Sistem Informasi

INVERS MATRIKS

Cara menghitung invers matriks berordo 3x3 ada dua cara, yaitu dengan metode Adjoint, dan metode OBE (Operasi Baris Elementer). Pada saat ini saya akan menghitung invers menggunakan metode Adjoint dengan bahasa pemrograman Python3, berikut source code-nya :

_____________________________________________________________________


print("Invers Matriks")
print ("")

a11=int(input("a11 = "))
a12=int(input("a12 = "))
a13=int(input("a13 = "))
a21=int(input("a21 = "))
a22=int(input("a22 = "))
a23=int(input("a23 = "))
a31=int(input("a31 = "))
a32=int(input("a32 = "))
a33=int(input("a33 = "))

print("")
print("Matriks")
print("|`",a11," ",a12," ",a13,"`|")
print("| ",a21," ",a22," ",a23," |")
print("|_",a31," ",a32," ",a33,"_|\n")

print("")
print ("Determinan")
detA=(a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a31*a22*a13)-(a32*a23*a11)-(a33*a21*a12)

print("DetA = (a11*a12*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a31*a22*a13)-(a32*a23*a11)-(a33*a21*a12)")
print("DetA = ", detA)

print("")
print ("Cofaktor")
A11=(a22*a33)-(a32*a23)
A12=(a21*a33)-(a31*a23)
A13=(a21*a32)-(a31*a22)
A21=(a12*a33)-(a32*a13)
A22=(a11*a33)-(a31*a13)
A23=(a11*a32)-(a31*a12)
A31=(a12*a23)-(a22*a13)
A32=(a11*a23)-(a21*a13)
A33=(a11*a22)-(a21*a12)

print("A11 = (+)| ",a22,"",a23," |=",A11," A12 = (-)| ",a21,"",a23," |=",A12*(-1)," A13 = (+)| ",a21,"",a22," |=",A13)
print("         | ",a32,"",a33," |              | ",a31,"",a33," |              | ",a31,"",a32," |")

print("\nA21 = (-)| ",a12,"",a13," |=",A21*(-1)," A22 = (+)| ",a11,"",a13," |=",A22," A23 = (-)| ",a11,"",a12," |=",A23*(-1))
print("         | ",a32,"",a33," |              | ",a31,"",a33," |              | ",a31,"",a32," |")

print("\nA31 = (+)| ",a12,"",a13," |=",A31," A32 = (-)| ",a11,"",a13," |=",A32*(-1)," A33 = (+)| ",a11,"",a12," |=",A33)
print("         | ",a22,"",a23," |               | ",a21,"",a23," |              | ",a21,"",a22," |")


print("")
print("\nA = | ",A11*(1),"",A12*(-1),"",A13*(1)," |")
print("      | ",A21*(-1),"",A22*(1),"",A23*(-1)," |")
print("      | ",A31*(1),"",A32*(-1),"",A33*(1)," |")

print("")
print ("Adjoint")
print("adj (A) = | ",A11*(1),'',A21*(-1),'',A31*(1),' |')
print('             | ',A12*(-1),'',A22*(1),'',A32*(-1),' |')
print('             | ',A13*(1),'',A23*(-1),'',A33*(1),' |')


print("")
print ("Invers")
invers_a11=(1/detA*(A11*(1)))
invers_a12=(1/detA*(A12*(-1)))
invers_a13=(1/detA*(A13*(1)))
invers_a21=(1/detA*(A21*(-1)))
invers_a22=(1/detA*(A22*(1)))
invers_a23=(1/detA*(A23*(-1)))
invers_a31=(1/detA*(A31*(1)))
invers_a32=(1/detA*(A32*(-1)))
invers_a33=(1/detA*(A33*(1)))

print("A-1 = 1/Det A x Adj A")
print('    = 1/',detA,"| ",A11*(1),'',A21*(-1),'',A31*(1)," |")
print('            | ',A12*(-1),'',A22*(1),'',A32*(-1),' |')
print('            | ',A13*(1),'',A23*(-1),'',A33*(1),' |')

print('\n    = | ',invers_a11,'',invers_a21,'',invers_a31,' |')
print('      | ',invers_a12,'',invers_a22,'',invers_a32,' |')
print('      | ',invers_a13,'',invers_a23,'',invers_a33,' |')

___________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Demikian cara menghitung invers matriks berordo 3x3 dengan metode Adjoint menggunkan bahasa pemrograman Python3. Terima kasih dan semoga bermanfaat.

ALJABAR LINIER

Nama : Alfiyani Nurul 'Ilmi
NIM    : 04218037
Prodi  : Sistem Informasi - A

MATRIKS

1.     Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom yang termuat diantara sepasang tanda kurung siku.

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai baris (m) dan kolom (n) disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Matriks A tersebut terdiri dari 3 baris dan 4 kolom.

Matriks A tersebut disebut berordo 3 x 4, atau dapat ditulis dengan A_{(3 x 4)}

2.     Jenis Matriks

a)      Matriks Bujur Sangkar

Matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

b)     Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

c)      Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

d)     Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar eleman utamanya bernilai nol.

e)      Matriks Identitas ( I )

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.

f)       Matriks Nol (0)

Matriks Nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.

g)      Matriks Skalar

Matriks Skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama sama tetapi bukan nol.

h)     Matriks Simetri

Matriks Simetri, yaitu matriks bujur sangkar jika A = A^T

3.     Operasi Matriks

a.      Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks (A dan B) dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila kedua matriks berordo sama (berukuran yang sama) dan menghitungnya dengan menjumlahkan atau mengurangi yang seletak.

b.      Perkalian Skalar

Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen – elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :

§  kA = A.k                              (Sifat Komutatif)

§  k ( A + B ) = k.A + k.B       (Sifat Distributif)

§  k ( A – B ) = k.A – k.B        (Sifat Distributif)

§  1A = A

§  (-1) A = -A

c.       Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dikalikan ( A x B ) Jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada  matriks B.

Perkalian dua matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c_ij ) berukuran mxp dimana

Pada umumnya berlaku sifat AB ≠ BA (perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif)

d.      Matriks Transpose

Transpose matriks A disimbolkan dengan A^T. Matriks transpose A^T adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen pada baris menjedi elemen pada kolom.

Matriks transpose memiliki sifat-sifat yaitu,

1)      (A + B)^T = A^T + B^T

2)      (A^T)^T = A

3)      (k . A)^T = k . A^T

4)      (AB)^T = A^T . B^T

e.       Trase Matriks

Trase Matriks merupakan penjumlahan semua elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar.

4.     Jenis Matriks Khusus

·         Idempoten

AA = A² = A (A = Matriks Bujur Sangkar)

·         Periodik :

AAA....A = A^p = A (dengan periode p-1)

·         Nilpoten

A^r = 0 ; Nilpoten dengan Index r (integer terkecil)

5.     Transformasi Elementer

a)      Penukaran Tempat Baris/Kolom

a.       Baris ke-i dan baris ke-j, ditulis B_ij(A)

b.      Kolom ke-i dan Kolom ke-j, ditulis K_ij(A)

b)      Mengalikan Baris/Kolom dengan Skalar λ

a.       Baris ke-i dengan Skalar λ ¹ 0 ® B_i^(λ)(A)

b.      Kolom ke-i dengan Skalar λ ¹ 0 ® K_i^(λ)(A)

c)      Menambah Baris/Kolom dengan λ kali Baris/Kolom

a.       Baris ke-i dengan λ kali Baris ke-j, B_ij^(λ)(A)

b.      Kolom ke-i dengan λ kali Kolom ke-j, K_ij^(λ)(A)

6.     Determinan

Determinan suatu matriks dinyatakan dengan Selisih Jumlah hasil kali antara diagonal utama dengan diagonal sekundernya.

Jadi matriks yang memiliki nilai determinan hanyalah matriks yang berbentuk bujur sangkar.

Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan det (A) atau |A|.

a)      Matriks berordo 2x2

b)      Matriks berordo 3x3